Текстовые задачи на растворы, сиропы и сплавы (ЕГЭ).
ЕГЭ тип 10
или задача №21 из ОГЭ
Сначала разберем вспомогательную задачу для понимания механизма решения.
В первой коробке лежат 3 карандаша и 5 ручек.
Во второй коробке лежат 4 карандаша и 8 ручек.
Содержимое обеих коробок выкладывают на пустой стол.
Какой процент от всех предметов, лежащих на столе будут составлять карандаши?
Проще сначала найти долю, доля карандашей на столе равна отношению (делению)
числа карандашей, лежащих на столе, к общему количеству предметов, находящихся на столе.
\( \dfrac{3+4}{8+12}=\dfrac{7}{20}=0,35 \)
0,35=35%
Количество карандашей, лежащих на столе составляет 35% от общего количества предметов.
Ответ:35%
Разберем простую задачу:
В кружке содержится 17 процентный солевой раствор, в другой кружке содержится такая же масса 13 процентного
солевого раствора. Содержимое обеих кружек полностью переливают в кастрюлю.
Каково процентное содержание соли в получившемся растворе?
Решим эту задачу в общем виде, кому-то решение покажется слишком громоздким, так как эту задачу
можно решить в уме с помощью логики, однако ниже будут представлены более сложные задачи,
где устная логика может не дать нужного результата.
Работать будем не с процентами, а с долями.
Если Вы совсем не помните как работать с процентами и долями, то можете нажать на зеленую кнопку
Теория и легкие задачи на проценты
1) Составим уравнение для фразы: "В кружке содержится 17 процентный солевой раствор"
\( \dfrac{m_{соли \ 1}}{M}=0,17 \)
где
\(m_{соли \ 1}\)- масса соли, растворенной в первой кружке
\(M\) масса всего раствора, находящегося в первой кружке
2) Составим уравнение для фразы: "В другой кружке содержится такая же масса 13 процентного
солевого раствора."
\( \dfrac{m_{соли \ 2}}{M}=0,13 \)
где
\(m_{соли \ 2}\)- масса соли, растворенной во второй кружке
\(M\) масса всего раствора, находящегося во второй кружке
В задаче сказано:"в другой кружке содержится такая же масса раствора", поэтому массу первого и массу второго
раствора мы можем обозначить одной буквой \( M \)
Масса самой соли это числитель
Масса соленой жидкости (раствора) это знаменатель.
При переливе в кастрюлю обеих кружек доля соли в получившемся растворе будет равна этой дроби:
\( \dfrac{m_{соли \ 1}+m_{соли \ 2}}{M+M}=? \)
кстати доля и концентрация в данном случае это одно и то же
Выразим из первого уравнения \(m_{соли \ 1}\), а из второго \( \ \ m_{соли \ 2}\)
\(m_{соли \ 1}=0,17 \cdot M\)
\(m_{соли \ 2}=0,13 \cdot M\)
Далее вставим это в нашу дробь:
\( \dfrac{0,17 \cdot M+0,13 \cdot M }{M+M}=\dfrac{0,3 \cdot M }{2M}=0,15 \)
0,15 это доля соли в получившемся растворе, если переводить в проценты будет 15%
Ответ:15%
Задача 1:
Сахарный сироп представляет из себя сахар, растворенный в воде, попросту говоря сахар+вода= сладкая водичка.
В первом сахарном сиропе содержится 21% сахара, во втором 33% сахара.
Для получения третьего сиропа берут равные массы этих сиропов и смешивают.
Какова доля сахара в третьем сиропе?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
1) Составим уравнение для фразы: "В первом сахарном сиропе содержится 21% сахара"
\( \dfrac{m_{сахара \ 1}}{M}=0,21 \)
2) Составим уравнение для фразы: "во втором 33% сахара"
\( \dfrac{m_{сахара \ 2}}{M}=0,33 \)
После смешивания доля сахара равна этой дроби:
\( \dfrac{m_{сахара \ 1}+m_{сахара \ 2}}{M+M}=? \)
\(m_{сахара \ 1}=0,21 \cdot M\)
\(m_{сахара \ 2}=0,33 \cdot M\)
\( \dfrac{m_{сахара \ 1}+m_{сахара \ 2}}{M+M}=\dfrac{0,21 \cdot M+0,33 \cdot M}{2M}=
\dfrac{0,54 M}{2M}=0,27 \)
доля сахара в новом сиропе составляет 0,27
или 27%
Ответ: 27%
Задача 2:
Алена взяла стакан с латте с содержанием сахара в кофе в \( 8 \% \) .
Масса кофе в ее стакане составляет 175 грамм.
Владимир также взял стакан с латте с содержанием сахара в кофе в \( 2 \% \) .
Масса кофе в его стакане составляет 325 грамм.
Попробовав оказалось, что один кофе слишком сладкий, а в другом наоборот недостаточно сахара.
Тогда было решено перелить оба кофе в пустой термос.
Каково стало процентное содержание сахара в кофе из термоса?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Концентрация и процентное содержание это одно и тоже в данном случае
\(\dfrac{m_{сахара \ у \ Алены}}{175}=0,08 \)
\(m_{сахара \ у \ Алены}=175 \cdot 0,08 \)
\(\dfrac{m_{сахара \ у \ Владимира}}{325}=0,02 \)
\(m_{сахара \ у \ Владимира }=325 \cdot 0,02 \)
Концентрация сахара в кофе из термоса:
\(концентрация= \dfrac{m_{сахара \ у \ Алены}+m_{сахара \ у \ Владимира } } {Общая \ масса \ кофе} \)
\( \dfrac{175 \cdot 0,08+325 \cdot 0,02}{325+175}=0,041 \)
0,041=4,1%
Ответ: 4,1%
Решить контрольную работу по теме "Растворы, смеси и сплавы"
Задача 3:
Латунь это сплав двух металлов- меди и цинка.
В лаборатории имелось \(m_1=7 \ кг \) латуни марки Л63 с содержанием меди в 62%.
Также в этой лаборатории было \(m_2=3 \ кг \) латуни марки Л68 с содержанием меди в 70%
Всю имеющуюся латунь положили в тигль и расплавили.
Какой процент будет занимать медь в получившемся сплаве?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Для тех, кто не любит максимально подробное объяснение приведем решение в одну строчку:
\( \omega = \dfrac {m_{cu1}+m_{cu2}}{m_1+m_2}=\dfrac {m_{1}\cdot 0,62+m_{2}\cdot 0,7}{m_1+m_2}
=\dfrac {7\cdot 0,62+3\cdot 0,7}{7+3} =0,644\)
\( \omega = 64,4 \% \)
Далее для тех кому не очень понятно.
Запишем уравнение для фразы:
" имелось \(m_1=7 \ кг \) латуни марки Л63 с содержанием меди в 62%. "
\( \color \magenta { \dfrac{m_{cu1}}{m_1}=0,62 } \)
\( \color \magenta { m_{cu1}=0,62 \cdot m_1} \)
\( \color \magenta { m_{cu1}=0,62 \cdot 7} =4,34 \ кг \)
\(m_{cu1} \) -масса непосредственно самого вещества меди находящегося в первом сплаве
\(m_1 = 7 \ кг \) -масса первого сплава
Запишем уравнение для фразы:
"Также в этой лаборатории было \(m_2=3 \ кг \) латуни марки Л68 с содержанием меди в 70%. "
\( \color \magenta { \dfrac{m_{cu2}}{m_2}=0,7 } \)
\( \color \magenta { m_{cu2}=0,7 \cdot m_2} \)
\( \color \magenta { m_{cu2}=0,7 \cdot 3} =2,1 \ кг \)
\(m_{cu2} \) -масса непосредственно самого вещества меди находящегося во втором сплаве
\(m_2 = 3 \ кг \) -масса второго сплава
\( доля \ меди = \dfrac {масса \ всей \ меди}{масса \ всего \ сплава} \)
\( \color \magenta { доля \ меди = \dfrac {m_{cu1}+m_{cu2}}{m_1+m_2}=\dfrac {4,34+2,1}{3+7}=0,644 } \)
0,644=64,4 %
Ответ: \( 64,4 \% \)
Задача 4:
В мензурке налит солевой раствор массой \(m_1= 2 \ кг \) с концентрацией соли \( \omega_1= 21 \% \) ,
в эту мензурку доливают 500 грамм чистой воды.
Вычислите концентрацию соли в мензурке в процентах после долива воды.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Краткое решение:
\( \color \red {\omega_2= \dfrac{m_{соли}}{m_1+0,5}=\dfrac{ 0,21 \cdot m_1}{m_1+0,5} =
\dfrac{ 0,21 \cdot 2}{2+0,5} =0,168=16,8 \% } \)
Подробное решение:
Масса соли в мензурке остается прежней, а вот масса раствора увеличивается, стало быть
концентрация(процентное содержание ) соли должна уменьшится.
500 грамм = 0,5 кг
До долива воды:
\( \color \magenta { \omega_1= \dfrac{m_{соли}}{m_1}=0,21 } \)
\( \color \green { m_{соли}=0,21 \cdot m_1 } =0,21 \cdot 2=0,42 \ кг \)
После долива воды:
\( \color \magenta {\omega_2= \dfrac{m_{соли}}{m_1+0,5}=? } \)
\( \color \magenta {\omega_2= \dfrac{0,42}{2+0,5}=0,168 } \)
0,168=16,8 %
Ответ: \( \omega_2= 16,8 \% \)
Задача 5:
В термосе налито \( m_1=300 \ грамм \) сладкого чая, концентрация сахара составляет 9%.
В термос доливают еще 700 грамм кипятка.
Вычислите концентрацию сахара после долива кипятка.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Краткое решение:
\( \color \red {\omega_2= \dfrac{m_{сахара}}{m_1+700}=\dfrac{ 0,09 \cdot m_1}{m_1+700} =
\dfrac{ 0,09 \cdot 300}{300+700} =0,027=2,7 \% } \)
Подробное решение:
Масса сахара в термосе не меняется, а вот масса чая в термосе увеличивается, поэтому
концентрация(процентное содержание ) сахара должна уменьшится.
До долива воды:
\( \color \magenta { \omega_1= \dfrac{m_{сахара}}{m_1}=0,09 } \)
\( \color \green { m_{сахара}=0,09 \cdot m_1 } =0,09 \cdot 300=27 \ г \)
После долива воды:
\( \color \magenta {\omega_2= \dfrac{m_{сахара}}{m_1+700}=? } \)
\( \color \magenta {\omega_2= \dfrac{27}{300+700}=0,027 } \)
0,027=2,7 %
Ответ: \( \omega_2= 2,7 \% \)
Задача 6:
Имеется раствор некоторого вещества с концентрацией \( \omega_1=20 \% \),
также имеется другой раствор этого же вещества с концентрацией \( \omega_2=60 \% \).
Если смешать эти растворы, то получится раствор с концентрацией \( \omega_3=42 \% \).
Известно, что масса второго раствора больше массы первого на 5 кг.
Вычислите массу первого раствора.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\(
\begin{cases}
M_2-M_1=5 \\ \\
\dfrac{m_1}{M_1}=0,2 \\ \\
\dfrac{m_2}{M_2}=0,6 \\ \\
\dfrac{m_1+m_2}{M_1+M_2}=0,42 \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
M_2=5 +M_1 \\ \\
\dfrac{0,2 \cdot M_1+0,6 \cdot (5 +M_1)}{M_1+5 +M_1}=0,42 \\
\end{cases} \)
\( \dfrac{0,2 \cdot M_1+ 3 +0,6M_1}{2M_1+5}=0,42 \)
\( \dfrac{0,8 \cdot M_1}{2M_1+5}=0,42 \)
\( 0,8 \cdot M_1+3=0,42(2M_1+5) \)
\( 0,8 \cdot M_1+3=0,84M_1+2,1 \)
\( 3-2,1=0,84M_1-0,8 \cdot M_1 \)
\( 0,9=0,04M_1 \)
\( 0,04M_1 =0,9 \)
\( M_1 =\dfrac{0,9}{0,04} \)
\( M_1 =\dfrac{0,9}{0,04} \)
\( M_1=22,5 \)
Ответ: \( M_1=22,5 \)
Задача 7:
У хозяйки на кухне было немного обезжиренного однопроцентного молока и пятипроцентное молоко.
Пятипроцентного молока было на \( 1 \ кг \) больше.
Она перелила все молоко в один кувшин, при этом жирность молока в кувшине составила 4%.
Какова масса молока в кувшине?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\(
\begin{cases}
M_2-M_1=1 \\ \\
\dfrac{m_1}{M_1}=0,01 \\ \\
\dfrac{m_2}{M_2}=0,05 \\ \\
\dfrac{m_1+m_2}{M_1+M_2}=0,04 \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
M_2=1 +M_1 \\ \\
\dfrac{0,01 \cdot M_1+0,05 \cdot (1 +M_1)}{M_1+1 +M_1}=0,04 \\
\end{cases} \)
\( \dfrac{0,01 \cdot M_1+ 0,05 +0,05M_1}{2M_1+1}=0,04 \)
\( \dfrac{0,06 \cdot M_1+ 0,05}{2M_1+1}=0,04 \)
\( 0,06 \cdot M_1+ 0,05=0,04(2M_1+1) \)
\( 0,06 \cdot M_1+ 0,05=0,08M_1+0,04 \)
\( 0,05-0,04=0,08M_1- 0,06M_1 \)
\( 0,01=0,02M_1 \)
\( 0,02M_1 =0,01\)
\( M_1 =0,5\)
\( M_2=1 +M_1=1,5 \)
\( общая \ масса \ молока \ = 0,5 \ кг +1,5 \ кг=2 \ кг \)
Ответ: \( 2 \ кг \)
Задача 8:
В стакан, содержащий 80 грамм воды положили какую-то массу сахара и перемешали,
в кружку, содержащую 100 грамм воды положили столько же сахара и перемешали.
После этого содержимое стакана и кружки перелили в кастрюлю, при этом концентрация сахара в сиропе из
кастрюли оказалась равна 10 %.
Какую массу сахара положили в стакан?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( \dfrac{m_{сахара}+m_{сахара}}{(80+m_{сахара})+(100+m_{сахара})}=0,1 \)
\( \dfrac{2m_{сахара}}{180+2m_{сахара}}=0,1 \)
\(2m_{сахара}=0,1(180+2m_{сахара}) \)
\(2m_{сахара}=18+0,2m_{сахара} \)
\(2m_{сахара}-0,2m_{сахара}=18 \)
\(1,8m_{сахара}=18 \)
\(m_{сахара}= \dfrac{18}{1,8}=10 \)
Ответ: \( 10 \ грамм \)
Задача 9:
Имеются два водных раствора некоторого вещества.
Если смешать 10%-ный и 70%-ный растворы, то получится 49%-ный раствор, а если к получившемуся раствору
добавить еще 29 кг воды, то получится двадцатипроцентный раствор.
Определите массу 70%-ного раствора.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\(
\begin{cases}
\dfrac{m_1}{M_1}=0,1 \\ \\
\dfrac{m_2}{M_2}=0,7 \\ \\
\dfrac{m_1+m_2}{M_1+M_2}=0,49 \\ \\
\dfrac{m_1+m_2}{M_1+M_2+29}=0,2 \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
m_1=0,1 M_1 \\ \\
m_2=0,7M_2 \\ \\
\dfrac{m_1+m_2}{M_1+M_2}=0,49 \\ \\
\dfrac{m_1+m_2}{M_1+M_2+29}=0,2 \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
\dfrac{0,1 M_1+0,7M_2}{M_1+M_2}=0,49 \\ \\
\dfrac{0,1 M_1+0,7M_2}{M_1+M_2+29}=0,2 \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
0,1 M_1+0,7M_2=0,49(M_1+M_2) \\ \\
0,1 M_1+0,7M_2=0,2 (M_1+M_2+29) \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
0,1 M_1+0,7M_2=0,49M_1+0,49M_2 \\ \\
0,1 M_1+0,7M_2=0,2M_1+0,2M_2+5,8 \\
\end{cases} \)
Домножим на 100, будет попроще
\(
\begin{cases}
10 M_1+70M_2=49M_1+49M_2 \\ \\
10 M_1+70M_2=20M_1+20M_2+580 \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
70M_2-49M_2=49M_1-10 M_1 \\ \\
70M_2-20M_2=20M_1-10 M_1+580 \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
21M_2=39M_1 \\ \\
50M_2=10M_1+580 \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
M_2=\dfrac{39M_1}{21} \\ \\
50M_2=10M_1+580 \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
M_2=\dfrac{13M_1}{7} \\ \\
5M_2=M_1+58 \\
\end{cases} \)
\(5 \cdot \dfrac{13M_1}{7}=M_1+58 \)
\(5 \cdot 13M_1=7M_1+7 \cdot 58 \)
\(65M_1=7M_1+406 \)
\(65M_1-7M_1=406 \)
\(58M_1=406 \)
\(M_1=406 :58 \)
\(M_1=7 \)
\( M_2=\dfrac{13M_1}{7}=\dfrac{13 \cdot 7 }{7}=13 \)
Ответ: \( 13 \ кг \)
Задача 12:
В первом кувшине налито \( M_1= 3 \ кг \) , а во втором \( M_2= 7 \ кг \) молока.
В первый кувшин положили и размешали какое-то количество какао-порошка.
Во второй кувшин положили и размешали уже другое количество какао-порошка.
Если содержимое обоих кувшинов перелить в одну емкость, то концентрация какао там будет \(\omega_{3}= 16 \% \),
а если взять равные массы жидкого какао из первого и второго кувшинов, и после этого
их смешать, то концентрация какао будет равна \(\omega_{4}= 14 \% \).
Какую массу какао-порошка положили в первый кувшин?
Дать ответ в граммах.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( \dfrac {m_{какао \ порошка \ 1}}{M_1}= \omega_{1} \)
\( \dfrac { \omega_{1} \cdot M_1+\omega_{2} \cdot M_2 }{M_1+M_2}=0,16 \)
Если внимательно изучить первую задачу, и ту, что была до первой, то мы можем заметить, что
если смешать одинаковые массы растворов, то концентрация будет равна среднему арифметическому
исходных концентраций.
Впрочем мы можем это доказать.
\( \omega_{3} = \dfrac { \omega_{1} \cdot M+\omega_{2} \cdot M }{M+M}=
\dfrac { M(\omega_{1} +\omega_{2} ) }{2M}= \dfrac { \omega_{1} +\omega_{2} }{2} \)
\( \dfrac { \omega_{1} +\omega_{2} }{2}=0,14 \)
\( \omega_{1} +\omega_{2} =0,28 \)
\( \omega_{2} =0,28-\omega_{1} \)
\(
\begin{cases}
\omega_{2} =0,28-\omega_{1} \\ \\
\dfrac { \omega_{1} \cdot M_1+\omega_{2} \cdot M_2 }{M_1+M_2}=0,16
\end{cases} \)
\( \dfrac { \omega_{1} \cdot M_1+(0,28-\omega_{1}) \cdot M_2 }{M_1+M_2}=0,16 \)
\( \dfrac { \omega_{1} \cdot 3+(0,28-\omega_{1}) \cdot 7 }{3+7}=0,16 \)
\( \dfrac { 3 \omega_{1} +1,96-7\omega_{1} }{10}=0,16 \)
\( 3 \omega_{1} +1,96-7\omega_{1}=1,6 \)
\( -4 \omega_{1} =1,6-1,96 \)
\( -4 \omega_{1} =-0,36 \)
\( \omega_{1} =0,09 \)
\( \dfrac {m_{какао \ порошка \ 1}}{M_1}= \omega_{1} \)
\(m_{какао \ порошка \ 1}=\omega_{1} \cdot M_1 \)
\(m_{какао \ порошка \ 1}=0,09 \cdot 3=0,27 \ кг \)
\( 0,27 \ кг=270 \ грамм \)
Ответ: \( 270 \ грамм \)