Логарифмические уравнения содержащие переменную в основании логарифма .
Уравнение 1:
\( \log_x 2 + \log_x 8 =4 \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( \log_x 2 + \log_x 8 =4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x>0 \)
\( \log_x (2 \cdot 8 ) =4 \)
\( \log_x 16 =4 \)
\( x^4=16 \)
\( x_1=\sqrt[4]{16} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=-\sqrt[4]{16} \)
\( x_1=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=-2<0 \ \ Не \ подходит \)
Ответ: 2
Уравнение 2:
\( \log_{x+1} {(71-x)} =2 \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\(
\begin{cases}
\log_{x+1} {(71-x)} =2 \\ \\
71-x>0 \\ \\
x+1>0 \\ \\
x+1 \neq 1
\end{cases} \)
\( (x+1)^2=71-x \)
\(x^2+2x+1=71-x \)
\(x^2+2x+1-71+x=0 \)
\(x^2+3x-70=0 \)
\( D= 3^2-4 \cdot 1 \cdot (-70)=9+280=289 \)
\( x_1=\dfrac{-3+\sqrt{289}}{2}=\dfrac{-3+17}{2}=\dfrac{14}{2}=7 \)
\( x_2=\dfrac{-3-\sqrt{289}}{2}=\dfrac{-3-17}{2}=\dfrac{-20}{2}=-10 \ \ \ \ не \ подходит \)
\(
\begin{cases}
71-x>0 \\ \\
x+1>0 \\ \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
x<71 \\ \\
x>-1 \\ \\
\end{cases} \)
Ответ: 7
Уравнение 3:
\( \log_{x-1} {(10x-34)} =2 \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\(
\begin{cases}
\log_{x-1} {(10x-34)} =2 \\ \\
10x-34>0 \\ \\
x-1>0 \\ \\
x-1 \neq 1
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
\log_{x-1} {(10x-34)} =2 \\ \\
x>3,4 \\ \\
x>1 \\ \\
x \neq 2
\end{cases} \)
\( (x-1)^2= 10x-34 \)
\(x^2-2x+1 = 10x-34 \)
\(x^2-2x+1 - 10x+34=0 \)
\(x^2-12x+35=0 \)
\(D=(-12)^2 -4 \cdot 35=144-140=4 \)
\( x_1=\dfrac{12+\sqrt{4}}{2}= 7 \)
\( x_2=\dfrac{12-\sqrt{4}}{2}= 5 \)
Оба корня подходят.
Ответ: \( 7;5 \)
Уравнение 4:
\( \log_{\sqrt{2}x-2} {(11x-4\sqrt{2}x-1)} =2 \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\(
\begin{cases}
\log_{\sqrt{2}x-2} {(11x-4\sqrt{2}x-1)} =2 \\ \\
\sqrt{2}x-2>0 \\ \\
\sqrt{2}x-2 \neq 1 \\ \\
11x-4\sqrt{2}x-1>0 \\ \\
\end{cases} \)
Сначала решим само уравнение, а потом займемся областью допустимых значений
\( (\sqrt{2}x-2)^2=11x-4\sqrt{2}x-1 \)
\(2x^2-4\sqrt{2}x+4 =11x-4\sqrt{2}x-1 \)
\(2x^2-4\sqrt{2}x+4 -11x+4\sqrt{2}x+1=0 \)
\(2x^2 -11x+5=0 \)
\(D=(-11)^2-4 \cdot 2 \cdot 5=81 \)
\( x_1=\dfrac{-(-11)+\sqrt{81}}{2\cdot 2}=5 \)
\( x_2=\dfrac{-(-11)-\sqrt{81}}{2\cdot 2}=0,5 \ не \ подходит ( ниже \ покажем) \)
\(
\begin{cases}
\sqrt{2}x>2 \\ \\
\sqrt{2}x \neq 3 \\ \\
x(11-4\sqrt{2})>1 \\ \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
x> \dfrac{2}{\sqrt{2}} \\ \\
x>\dfrac{1}{11-4\sqrt{2}} \\ \\
x \neq \dfrac{3}{\sqrt{2}} \\ \\
\end{cases} \)
Нижнюю строку можно убрать, так как ни один из корней не равен \( \dfrac{3}{\sqrt{2}} \)
Упростим \( \dfrac{2}{\sqrt{2}} \)
\( \dfrac{2}{\sqrt{2}} =\dfrac{2 \cdot \sqrt{2} }{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} } =
\dfrac{2 \cdot \sqrt{2} }{ 2 }= \sqrt{2} \)
\(
\begin{cases}
x> \sqrt{2} \\ \\
x>\dfrac{1}{11-4\sqrt{2}} \\ \\
\end{cases} \)
\( Корень \ x=0,5 < \sqrt{2} \)
а это противоречит ОДЗ:\( \ \ \ \ x> \sqrt{2}\)
Ответ: \( 5 \)